Svar: 118

15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+1=118.

Svar: 118

15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+1=118.

Svar: 118

15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+1=118.

Svar: Det finns 7 ovanliga renar.

Totalt finns det 68/4 =17 renar. Om alla hade haft tvГҐ horn skulle det ha funnits 34 horn.

Det saknas alltså 34 – 27 = 7 horn. Det betyder att det finns 7 ovanliga renar och 10 vanliga.
Tillsammans har de 7 + 20 = 27 horn.

Svar: Det finns fler än sex möjligheter. Hur kan du vara säker på att du har funnit alla möjligheter?

Problemet är hämtat från Nrich. Läs mer här »»»

Svar: Som minst deltar 15 personer i alla tre sporter.

Vi kan illustrera problemet med hjälp av ett diagram:


Denna bild visar en situation där samma personer som har
valt bandy ocksГҐ har valt innebandy och fotboll
15 personer har inte valt nГҐgon sport.
Här ser vi att det största antalet som kan ha valt 3 tre sporter är 60.

Problemet gällde den motsatta situationen;
vilket Г¤r det minsta antalet som har valt tre sporter?
Då måste vi försöka placera ut önskemålen så att vi får
en situation där så få som möjligt väljer fler sporter.


Bilden visar att av de 100 personerna har
15 st valt bandy, innebandy och fotboll,
40 har valt innebandy och fotboll, 30 har valt fotboll och bandy
och 15 har valt bandy och innebandy.

Summan av antal personer i varje sport Г¤r lika med summan av antal sporter hos varje person.
Denna summa är 85 + 70 + 60 = 215.
Av detta drar man slutsatsen att det mГҐste finnas minst 15 personer som vill delta i alla tre sporterna.
Kan antalet i praktiken vara 15? Ja, det har vi visat med exemplet.

En formell lösning:
Låt E vara antalet intresserade av bara en sport, D antalet intresserade av 2 sporter, T antalet intresserade av 3 sporter och N antalet av de som inte är intresserade av någon sport alls. E + D + T + N = 100.
Summan av antal intresserade av fotboll, innebandy och bandy är: 85 + 70 + 60 = 215.
Då gäller också E + D · 2 + T · 3 = 215
Vi söker svar på den första frågan:
215 = E + D · 2 + T · 3 ≤ N · 2 + E · 2 + D · 2 + T · 3= 2 ·(N + E + D + T) + T = 200 + T
alltså T ≥ 15 
T kan vara just 15 när 40 väljer fotboll och innebandy, 30 fotboll och bandy, 15 bandy och innebandy och 15 allt.
Alltså är 15 det minsta möjliga antalet medlemmar som väljer alla 3 sporter.
Den andra delen av frГҐgan Г¤r betydligt mer komplicerad; hur mГҐnga ville delta i ГҐtminstone tvГҐ sporter?
Som minst deltar 58 personer i åtminstone två sporter, då deltar 58 i alla sporterna och de övriga 42 fördelar sig:
27 bara fotboll, 12 bara innebandy, 2 bara bandy och en har inte valt nГҐgon sport.


En formell lösning:
215 = E + D · 2 + T · 3 ≤ N + E+ D ·  3 + T · 3 = (N + E + D + T) + 2 · ( D + T)  = 100 + 2 · ( D + T)
alltså 2 · ( D + T) ≥ 115 och därmed D + T > 57
D + Tkan vara 58 när t ex  27 väljer bara fotboll, 12 bara innebandy, 2 bara bandy, 58 allt och en ingenting.
Alltså är 58 det minsta möjliga antalet medlemmar som väljer minst 2 sporter.

Läs mer om att illustrera liknande samband med diagram som dessa i Bengt Ulins Frågor och fascinationer (NCM, 2016), s 64–65.

Svar: 6 olika sätt

Försök att systematisera undersökningen.
För 24 lussekatter:
2 В·12 bullar
2 bullar + 2 В· 6 bullar
2 bullar + 3 В· 4 bullar
4 В· 6 bullar
2 В· 6 bullar + 3 В· 4 bullar
6 В· 4 bullar
Det finns 6 olika sätt.

För 48 bullar: Undersök på motsvarande sätt. Det finns 15 olika sätt.

Svar: 3750 volymenheter.


När de två kuberna tas bort ökar begränsningsarean med 4 kubsidor,
vilket motsvarar 100 ae. AlltsГҐ Г¤r varje kubsida 25 ae och varje sida Г¤r dГҐ 5 le.
En kub har alltså volymen 5 · 5 · 5 = 125 volymenheter.
Hela den ursprungliga konstruktionen är därför 30 · 125 volymenheter.

Svar: 29 kg
Vi vet att 4 röda och 3 gröna paket väger 63 kg och att 3 röda och 2 gröna paket väger 46 kg. Vi kan därför räkna ut att 1 rött och ett grönt paket väger 17 kg (skillnaden mellan 63 och 46 kg). 2 röda och 2 gröna väger 34 kg. Eftersom 3 röda och 2 gröna väger 46 kg kan vi räkna ut att ett rött paket väger 46–34 kg =12 kg. Ett grönt paket väger alltså 17–12 kg = 5 kg.

Eller:
Beteckna de röda paketens vikt med r och de gröna paketens vikt med g.
4r + 3g >! 3r + 2g >! Sätt ihop dessa ekvationer och vi får att r + g >!g >!r i någon av ekvationerna och vi får r=12 och g=5.
SГҐ, 2r+1g >!

Svar: Vi kan fГҐ som mest 3 grupper:

15 och 5; 12 och 8; 10, 9 och 1. Summan i varje grupp Г¤r 20.
Den totala summan Г¤r 60, dvs 2 В· 2 В· 3 В· 5.
De möjliga gruppsummorna skulle därför vara 15, 20 och 30 eftersom 15 är minsta möjliga summa då det största talet vi har är 15.
Vi kan inte fГҐ grupper med summan 15 , dГҐ vi inte kan kombinera talen sГҐ.
Däremot är det möjligt att skapa tre grupper med summan 20.
Vi kan också göra två grupper med summan 30, men vi ville få mesta möjliga antal grupper.

Svar: Summan Г¤r 21

De två nedre raderna ger att ett hjärta är värt 2 mer än en gran.
Vi utnyttjar det i den andra kolumnen och vet att 4 hjärtan skulle ge summan 32. Alltså är ett hjärta värt 8 och en gran 6.
Fortsätt att lösa ut värdet med hjälp av dessa:

Tredje raden: En gris är värd 4 , (18-6)/3 Andra raden: Sexhörningen är värd 7, (30-16)/2.
Summan Г¤r alltsГҐ 21

Svar: Staffan kommer först, förutsatt att de springer fortare än de går.

Om Staffan springer halva tiden kommer han att springa en större andel av banan än Lucia.
Eftersom det gГҐr snabbare att springa kommer han att vinna.

Svar:

Svar: Det går inte att säga vem som har flest.

Vi vet bara att Petras antal Г¤r 5 fler Г¤n en multipel av 9 och att Vilhelms antal Г¤r 2 fler Г¤n en multipel av 9.
Petra kan exempelvis ha 18 + 5 = 23 kort och Wilhelm 18 + 2 = 20 kort, men Petra skulle också kunna ha 9 + 5 = 14.
Däremot kan de aldrig ha lika många kort. Varför?

Svar: Det blir alltid så och det går att förklara

Summan av en persons födelseår och ålder blir alltid det aktuella året.

Svar: En lussekatt kostar 2 nissekronor.

1 pepparkaka kostar 1 kr eftersom 3 kakor kostar 3 kr: 11kr – 8kr.
3 lussekatter + 2 pepparkakkor kostar 8 kr, 3 lussekatter kostar alltsГҐ 6 nissekrinor och 1 lussekatt kostar 2.

Svar: 5 matcher

Om laget vinner 5 ytterligare matcher i rad når det 15 vunna av 25 spelade, vilket kan uttryckas som 15/25, vilket är detsamma som 60 %.

Algebraiskt:
Det sökta antalet vinstmatcher i rad betecknas med x. Totalt sett har laget då vunnit 10+x matcher. Det totala antalet spelade matcher är då x + 20.
(x+10) / (20+x) >! x >!

Svar: a + b + c = 30

Genom att jämföra likheterna kan vi resonera oss fram till att b = c + 5 och att b = a + 7.
Detta ger a + b = 21 att a =7 och b = 14, a + c = 16 ger att c = 9. 7 + 14 + 9 = 30.
Eller:
Addera vänsterleden och högerleden: 2a + 2b + 2c = 60, dvs a + b + c = 30.

Svar: 33 kulor

I sådana här problem måste vi söka efter sämsta möjliga händelse. Det är att vi plockar upp 9 röda, 9 gula, 8 blå och 6 gröna kulor, totalt 32 kulor. Nästa kula vi drar måste vara antingen röd eller gul och kommer att ge oss 10 kulor av samma färg.

Svar: 49 cm eller 63 cm, beroende pГҐ hur vi tolkar frГҐgan

LГҐngsidan plus kortsidan Г¤r tillsammans halva omkretsen, 294/2 cm = 147 cm.
Utefter denna längd finns det, om vi viker 4 respektive 3 gånger, 16 + 8 sträckor som motsvarar kvadratens sida.
Kortsidan utgör därfören tredjedel av längden 147 cm = 49 cm.
Vi kan också dela längden i 24 lika delar, för att få kvadratens sida och därefter multiplicera denna med 8,

vilket ger samma resultat dГҐ 8/24 = 1/3.
Om vi tolkar uppgiften så att vi ska dela sidorna i 4 respektive 3 delar blir lösningen på motsvarande sätt:

4 + 3 sträckor som motsvarar kvadratens sida. 147/7 cm = 21 cm, som är längden av kvadratens sida.

Utefter kortsidan fГҐr tre kvadrater rum, sГҐ kortsidan Г¤r 3 В· 21cm = 63 cm.
Med en formell algebraisk lösning, här utifrån tolkningen att vi delar sidorna i 3 respektive 4 delar:
Låt papperet ha längden l cm och bredden b cm. Då gäller att 2l + 2b = 294, l + b = 147.
LГҐt kvadraten ha sidan s cm. Eftersom lГҐngsidan viks i fyra delar sГҐ Г¤r l = 4s.
Kortsidan viks i 3 delar, sГҐ b = 3s. AlltsГҐ Г¤r 4s + 3s = 147, 7s = 147, s = 21.
Kortsidan är 3 · 21 cm = 63cm.

Svar: 75 kr

Vi vet att en låda skumtomtar kostar 10 kr mer än en låda ischoklad, eftersom Nisse måste betala 10 kr när han byter låda.
2 lådor skumtomtar och 3 lådor ischoklad kostar 345 kr. Om skumtomtarna hade kostat lika mycket som ischokladen skulle de fem lådorna ha kostat 325 kr: 345 kr – 2 · 10 kr = 325 kr. Varje låda hade kostat 325/5 = 65 kr. Det är alltså priset på en låda ischoklad och skumtomtarna kostar därmed 65 kr + 10 kr = 75 kr.

Algebraisk lösning:
Sätt priset för en låda skumtomtar till x och priset för en låda ischoklad till y.
2x+3y=345
3x+2y=355
Lösningen på ekvationssystemet blir x=75, y=65. Priset för en låda skumtomtar är alltså 75 kr.

Svar: Det gГҐr ГҐt tre personer.

En lösning:
Dag 1 startar person A, B och C. De bär alla med sig 4 dagsransoner. A bär också med sig dokumentet som ska föras över till andra sidan.
Efter en dag har alla tre ransoner kvar. C lämnar över en ranson till A och en till B. Då har C en ranson kvar till sin återfärd som kommer att ta en dag. A och B har nu åter fyra ransoner.
Efter två dagar har A och B tre ransoner kvar var. B lämnar över en av sina till A. B har då två ransoner som räcker till återfärden och A har fyra ransoner som kommer att räcka de återstående fyra dagarna det tar att ta sig till det andra baslägret.
Med andra ord räcker det med tre personer.

Vi tackar för lösningen som inkommit från Profiltid Matematik åk 8-9 på Kvarnskolan i Järfälla. Själva hade vi en lösning som skulle kräva fyra personer:

Dag 1 startar person A, B och C. De bär alla med sig 4 dagsransoner. A bär också med sig dokumentet som ska föras över till andra sidan.
Efter tvГҐ dagar fГҐr A Г¶verta en ranson frГҐn B och och en frГҐn C och tar sig sedan Г¶ver isen pГҐ egen hand pГҐ ytterligare 4 dagar.
B och C kan nu gГҐ tillbaka en dagsetapp, dГҐ de har varsin ranson kvar.
Samtidigt startar D från baslägret och bär med sig 4 ransoner. Efter en dag möts B, C och D.
D lämnar en ranson till B och en till C och behåller en själv. Tillsammans går de sedan en dagsetapp tillbaka till baslägret.

Svar: 34 silverkulor
Det finns 30 kulor totalt i Sörgården. Man kan tänka att 30 delas in i 5 delar, då förhållandet mellan kulorna är 3:2.
Silverkulorna är 3 delar av dessa 5, alltså (30*3) / 5 = 18. På samma sätt i Norrgårdens gran (26*4) / 7 = 16
I de bГҐda granarna finns det sammanlagt 18+16=34 kulor.

Alternativ:
30 delas i förhållandet 3:2 innebär att 30 först delas i fem delar med 6 i varje (30/5=6) och därefter delas dessa fem delar upp så att vi får tre delar och två delar: 3·6 och 2·6, dvs 18 kulor och 12 kulor
28 delas i 4:3 innebär att 28 delas i sju delar med 4 kulor i varje del: 4 · 4 och 3 · 4, dvs 16 kulor och 12 kulor.
Sammanlagt 18 + 16 =34 silverkulor (och 12 + 12 = 24 röda kulor)

Svar: 17 kg, 17 kg, 21 kg, 22 kg och 23 kg. Vi utgår här från att säckarnas vikt anges i hela kilogram.

Säckarnas sammanlagda vikt är 5 · 20 kg = 100kg.
Eftersom vi vet att medianvärdet är 21 ska det finnas två värden större än 21 och 2 värden mindre än 21.
Typvärdet är 17 kg, så det måste vara en vikt som två säckar har. (Det måste finans en vikt som förekommer fler gånger än de andra och ingen vikt kan förekomma fler än två gånger i detta exempel.)
Dessa tre säckar väger sammanlagt 17 kg + 17 kg + 21 kg = 55 kg.
De återstående säckarna ska alltså väga 45 kg och varje säck ska väga mer än 21 kg.
Den enda lösningen, med hela kg, är 22 kg och 23 kg.

Svar: 144 cm²

Rektangelns sidor har lГҐngsidan med samma mГҐtt som kvadraten och kortsidan Г¤r hГ¤lften sГҐ lГҐng som kvadratens sida. Omkretsen Г¤r 36 cm, vilket innebГ¤r att halva omkretsen Г¤r 18. Eftersom lГҐngsidan Г¤r dubbelt sГҐ lГҐng som kortsidan delar vi 18 i 3 och fГҐr lГҐngsidan till 12 cm och kortsidan till 6. Den ursprungliga kvadratens sida var alltsГҐ 12 cm och arean dГ¤rmed 12В·12=144 cm²

Med algebra:

Sätt kvadratens sida till a. Omkretsen på rektangeln blir då: a + a + 0,5a + 0,5a = 3a = 36.
Kvadratens sida Г¤r a = 12 cm. Arean blir dГҐ 12 В· 12 = 144 cm².

Svar: Tomtelisa Г¤r 12 ГҐr gammal.

Produkten av deras ГҐldrar Г¤r 144, dvs 12 · 12 = 1 · 2 · 2 · 3 · 2  ·вЂ‰2 · 3. Tomtenisse Г¤r 12 ГҐr och Tomtevicke Г¤r 1 ГҐr, 12 – 1 = 11.
Då måste Tomtelisa vara 2 · 2 · 3 = 12 år.
Någon annan lösning finns inte då åldrarna måste finnas bland: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, och 72.

Svar: 1/5 + 1/8.
13/40 = 8/40 + 5/40 = 1/5 + 1/8.
Talen i detta bråk är valda med avsikt 8 + 5 = 13, 8 · 5  = 40.
Läs mer om stambråk i Marie Kubinova & Nada Stehlikova: Vi räknar som de gamla egyptierna i Nämnaren 2005:1
http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/4247_05_1.pdf

Svar: 37 som mest, 31 som minst

Antalet som spelar bГҐde slagverk och blГҐsinstrument Г¤r x.
Det finns inget i texten som säger något om detta antal och det kan variera mellan 0 till 6. Det kan vara 0 om det inte finns någon som spelar både slagverk och blåsinstrument eller som mest 6 (vi vet att av de 12 som spelar slagverk kan 6 också spela stråkinstrument).

I orkestern är det flest musiker om x = 0, dvs 7 + 8 + 6 + 6 + 10 = 37.
Det minsta antalet musiker är om x = 6, 2 + 6 + 6 + 7 + 10 = 31.

Svar: Till 7 kakor går det åt 420 g vetemjöl, 210 g socker och 7 ägg.
Grädda i 45 min i 180°.

Svar: Flera lösningar finns:
a) 6 В· 6 biljetter + 4В· 3 biljetter
b) 5 В· 6 biljetter + 3 В·4 biljetter+ 2В·3 biljetter
c) 4 В· 6 biljetter + 6 В· 4 biljetter

Hittar du flera? Varför kan det aldrig vara udda antal turer med 3 åkbiljetter?

Hittar du fler?

Svar: 16 st

Vi kan välja:
– inget tillbehör
ett tillbehör:
– bara peperoni,
– bara salami eller
– bara champinjoner
två tillbehör:
– peperoni och champinjoner,
– peperoni och salami,
– salami och champinjoner
– alla tre tillbehören

Totalt 8 olika pizzor, som dessutom ska vi välja tunn eller tjock, vilket ger totalt 16 olika möjligheter.
Om man sedan vill tillåta att till exempel ett tillbehör anänds tre gånger på en och samma pizza så tillkommer fler kombinationer.

Svar: : 2 timmar 30 min

3  tim och 20  min = 200  min. Det skulle alltså ta 3 *  200 min = 600 min för en person att göra samma jobb. Då skulle det ta 600/4 = 150  min för 4 personer att göra samma jobb.

GOD JUL !

Svar: Åtminstone 5 fyrhörningar, kan du fler?

Svar: Det beror pГҐ

Styckpriset för apelsiner på Fina Frukter är 2,33 kr. Styckpriset är alltså lägre. Vad som är bäst beror också på hur många apelsiner man vill ha, den totala summan kanske blir lägre om man bara vill ha en apelsin/person.

Två lösningar:

Svar: 13 nissar

Om Tomtefar sitter mitt emot nummer 7 så är det 6 nissar mellan tomtefar och nisse nummer 7 på vardera sidan om dem, dvs 6 + 6 + 1 nisse.

20 barn:
Om 7 och 17 sitter mitt emot varandra mГҐste det sitta 9 barn mellan dem pГҐ vardera sidan.
Åt ena hållet från nr 7 sitter alltså nr 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 och 16. På andra sidan om 17 måste då finnas nr 1–6 plus ytterligare tre barn. Totalt sitter alltså 9 + 9 + 2 = 20 eller 17 + 3=20.

Svar: Minskat med 1 %.

Flickorna utgör efter minskningen 55 % av 90 procentenheter, dvs 49,5 procentenheter.
Minskningen från 50 procentenheter till 49,5 procentenheter är 1 %.

Eller:
Antag att det finns 200 elever pГҐ skolan. Det finns dГҐ 100 flickor.
När det totala antalet har minskat med 10 % är det 180 elever på skolan. 55 % av 180 är 99.
Dvs antalet flickor har minskat från 100 till 99, dvs 1 %.

Svar: Aldrig

Primtal större än 2 är alltid udda. Multiplicerar man två udda tal får man alltid ett udda tal. Ett udda tal minus 1 blir ett jämnt tal, vilket betyder att man aldrig får ett primtal.

Svar: Ja, alla primtal har en granne som Г¤r en multipel av 6.

Inledningsvis kan detta vara en intressant sak att undersöka och upptäcka.
Senare kan det väcka frågor om varför, och en lust att undersöka vidare och försöka förstå.
Äldre elever och vuxna kan försöka att resonera sig fram till ett övertygande argument.
Välj två tal, som är multiplar av 6, t ex 618 och 624. Mellan dessa ligger jämna tal, 620 och 622 och mellan dem 621, en multipel av 3.
Då återstår endast två platser som är möjliga för primtal, 619 och 623. Och 619 är ett primtal.
Däremot är det inte säkert att alla multipler av 6 har ett primtal som granne, även om man inledningsvis kan tro så.
Talet 120 är den lägsta 6-multipeln som saknar primtalsgranne.

Läs mer om detta i Bengt Ulins bok Frågor och fascinationer (NCM 2016), s 8–9.

Svar: 254/256 mycket stor sannolikhet alltsГҐ.

Totalt finns det 256 utfall, 28. Två av dessa utfall kan vi räkna bort, de fall där det blir precis varannan krona och varannan klave (krona – klave – krona ... och klave –krona – klave ...).
Dvs sannolikheten att det minst en gång blir krona – krona eller klave – klave är 254/256.

Svar: Detta problem har flera lösningar. De ska alla uppfylla
x · 2 hg + y · 3 hg = 50 hg, där x står för antalet grisar och y står för antalet bröd.

Om sockerbagaren bara gör grisar räcker det till 25 st.
Vill han bara göra bröd räcker det till 16 bröd – men då blir det dessutom en gris eller 2 hg över.

x = 25 ger y = 0 25 grisar och inget bröd
x = 22 ger y = 2, 22 grisar och 2 bröd
x = 19 ger y = 4 19 grisar och 4 bröd
x = 16 ger y = 6 16 grisar och 6 bröd
etc
13 grisar och 8 bröd
10 grisar och 10 bröd
7 grisar och 12 bröd
4 grisar och 14 bröd
1 gris och 16 bröd

Svar: Förhållandet är 2:1

Hälften av den lilla kvadraten är en fjärdedel av den stora. Den lilla kvadraten är därmed hälften så stor som den stora och förhållandet är 2:1.

Svar: Förhållandet är 2:1

Hälften av den lilla kvadraten är en fjärdedel av den stora. Den lilla kvadraten är därmed hälften så stor som den stora och förhållandet är 2:1.

Eller:
Den lilla kvadratens diagonal Г¤r lika lГҐng som den stora kvadratens sida. Kalla stora rektangelns sida fГ¶r a. Arean pГҐ den stora kvadraten Г¤r a². Den lilla kvadratens sida blir a/√2. Arean blir dГҐ a²/2. FГ¶rhГҐllandet blir 2:1.

Svar: Han åker lika lång sträcka varje dag.

Med ett exempel:
Antag att hela sträckan är 10 km. Dag 1 åker Rudolf en tiondel av denna sträcka, dvs 1 km.

Dag 2 åker Rudolf en niondel av den återstående sträckan, dvs 1/9 av 9 km, alltså 1 km , därefter 1/8 av 8 km osv.

Problemet illustrerar tydligt hur delens storlek beror pГҐ helheten.

Svar: 8: 36 nötter
Räkna baklänges.
I slutet har Långben 1 nöt. Eftersom han gav bort hälften + 2 till Musse och sen har 1 kvar vet vi att hälften var 3.
Innan han ger Musse har han 1+2 +3=6 nötter.
Innan han ger Puff 6+2+8=16 nötter.
Innan han ger Piff 16+2+18=36 nötter. Alltså har Långben 36 nötter från början.

Svar: Bogdan hade 10 kakor.

När Jenny ger Ali två kakor byter Ali och Jenny plats i ordningen när det gäller vem som har mest kakor.
Bogdan Г¤r i mitten hela tiden. Det totala antalet kakor Г¤ndras inte och Bogdans antal kakor Г¤ndras inte heller.
Antalet kakor de tre har måste vara tre på varandra följande tal, eftersom det räcker att Jenny ger två kakor til